Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的圖象經過（2，﹣1）和（﹣2，7）且與直線y=kx﹣2k﹣3相交于點P（m，2m﹣7）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線y=kx﹣2k﹣3與拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的對稱軸的交點Q的坐標；
（3）在y軸上是否存在點T，使△PQT的一邊中線等于該邊的一半？若存在，求出點T的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的圖象經過（2，﹣1）和（﹣2，7），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣2x+1

（2）解：∵拋物線的圖象經過點P（m，2m﹣7），

∴2m﹣7= m2﹣2m+1，

解得m1=m2=4，

∴點P的坐標為（4，1），

∵直線y=kx﹣2k﹣3經過點P，

∴4k﹣2k﹣3=1，

解得k=2，

∴直線的解析式為y=2x﹣7，

∵y= x2﹣2x+1= （x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∴在y=2x﹣7中，當x=2時，y=2×2﹣7=﹣3，

∴點Q的坐標為（2，﹣3）

（3）解：設點T的坐標為（0，t），M為PQ的中點，連結TM，根據題意得：

TM= PQ，即TM=PM=QM，

∴點T在以PQ為直徑的圓上，

∴∠PTQ=90°，

∴△PQT為直角三角形，

同理，點M為PT或QT的中點時，△PQT仍為直角三角形，

作PA⊥y軸于A，交直線x=2于點C，QB⊥y軸于B，則AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，

∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，

∴PQ= = =2 ，

①當∠PTQ=90°時，

∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2

=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，

∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，

∵（t+1）2≥0，

∴此方程無解；

②當∠PQT=90°時，PQ2+QT2=PT2，

∴（2 ）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，

解得t=﹣2；

③當∠QPT=90°時，TQ2=PT2+PQ2，

∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2 ）2，

∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，

解得t=3，

綜上所述，在y軸上存在點T，其坐標分別為（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一邊中線等于該邊的一半．

【解析】（1）根據拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的圖象經過（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到拋物線的解析式；（2）先根據拋物線的圖象經過點P（m，2m﹣7），求得點P的坐標，再根據直線y=kx﹣2k﹣3經過點P，求得k的值，最后根據拋物線的對稱軸為直線x=2，求得點Q的坐標；（3）設點T的坐標為（0，t），M為PQ的中點，連結TM，分三種情況討論：∠PTQ=90°時，∠PQT=90°時，∠QPT=90°時，分別根據勾股定理列出關于t的方程進行求解即可．