Question

已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD．探究下列問題：
（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=

 

；
（2）如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且∠ACB=90°，則CD=

 

；
（3）如圖3，當∠ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的∠ACB的度數．

Answer 1

分析：（1）a=b=3，且∠ACB=60°，△ABC是等邊三角形，且CD是等邊三角形的高線的2倍，據此即可求解；
（2）a=b=6，且∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，且CD是邊長是6的等邊三角形的高長與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；
（3）以點D為中心，將△DBC逆時針旋轉60°，則點B落在點A，點C落在點E．連接AE，CE，當點E、A、C在一條直線上時，CD有最大值，CD=CE=a+b．

解答：解：（1）∵a=b=3，且∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OC=

3 3

2

，
∴CD=3

3

；（1分）

（2）3

6

-3

2

；（2分）

（3）以點D為中心，將△DBC逆時針旋轉60°，
則點B落在點A，點C落在點E．連接AE，CE，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，
∴△CDE為等邊三角形，
∴CE=CD．（4分）
當點E、A、C不在一條直線上時，
有CD=CE＜AE+AC=a+b；
當點E、A、C在一條直線上時，
CD有最大值，CD=CE=a+b；
只有當∠ACB=120°時，∠CAE=180°，
即A、C、E在一條直線上，此時AE最大
∴∠ACB=120°，（7分）
因此當∠ACB=120°時，
CD有最大值是a+b．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，以及軸對稱的性質，正確理解CD有最大值的條件，是解題的關鍵．