Question

（2010•河池）如圖所示，在直角梯形OABC，CB，OA，∠OAB=90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x半軸上，對角線OB，AC相交于點(diǎn)M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）線段OB的長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△OAB是等腰Rt△，已知了直角邊的長，即可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊OB的長；已知了OA=2BC，即可得到C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而B、C的縱坐標(biāo)相同，由此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）易證得△BCM∽△OAM，且OA=2BC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得AM=2CM；由此可證得△OAM的面積是△OCM的2倍，即△OCM的面積是△OAC的，因此只需求出△OAC的面積即可；
（3）用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的函數(shù)解析式；
（4）根據(jù)（3）得到的拋物線的解析式，即可求出其對稱軸方程；若以A，O，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，應(yīng)分成兩種情況考慮：
①E點(diǎn)在x軸的下方，F(xiàn)在x軸的上方；此時(shí)四邊形OFAE的對角線OA、EF互相平分，四邊形OFAE是平行四邊形，此時(shí)F與C點(diǎn)重合；
②E、F同時(shí)在x軸下方；此時(shí)四邊形OAFE（或OAEF）以O(shè)A為邊，根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行且相等知：OA=EF，由此可求出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，OA=AB=4，所以△AOB是等腰直角三角形，
∴OB===4，B（4，4）；
∵OA=2BC，則C點(diǎn)位于OA的垂直平分線上，
∴C（2，4）；

（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，∠OAB=90°，
∵CB∥OA，
∴△OAM∽△BCM，（3分）
又∵OA=2BC，
∴AM=2CM，CM=AC，（4分）
所以S_△OCM=S_△OAC=××4×4=．（5分）
（注：另有其它解法同樣可得結(jié)果，正確得本小題滿分．）

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（4，0），C（2，4），
所以，（6分）
解這個(gè)方程組得a=-1，b=4，c=0，（7分）
所以拋物線的解析式為：
y=-x²+4x；（8分）

（4）∵拋物線y=-x²+4x的對稱軸是CD，x=2，
①當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時(shí)，CE和OA互相平分則可知四邊形OEAC為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)F和點(diǎn)C重合，
點(diǎn)F的坐標(biāo)即為點(diǎn)F（2，4）；（9分）
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方，點(diǎn)F在對稱軸x=2的右側(cè)，存在平行四邊形AOEF，OA∥EF，且OA=EF，
此時(shí)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，
將x=6代入y=-x²+4x，可得y=-12．
所以F（6，-12）． （11分）
同理，點(diǎn)F在對稱軸x=2的左側(cè)，存在平行四邊形OAEF，OA∥FE，且OA=FE，
此時(shí)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-2，
將x=-2代入y=-x²+4x，可得y=-12，
所以F（-2，-12）． （12分）
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4），（6，-12），（-2，-12）．（12分）
點(diǎn)評：此題主要考查了解直角三角形、三角形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定以及平行四邊形的判定等知識，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度偏大．