Question

已知：如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值；
（3）在（2）的條件下，當1＜x＜2時，求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形可以得出∠A=∠B=90°，由EF⊥DE可以得出∠DEF=90°，從而可以證明∠AED=∠BFE，從而可以證明△ADE∽△BEF；
（2）由（1）可以得出

AD

BE

=

AE

BF

，再由正方形的邊長為4，AE=x，BF=y代入比例式就可以把y的解析式表示出來，化成頂點式就可以求出其最值．
（3）將x的取值范圍代入（2）的解析式就可以求出y的范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°．
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE．
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

．
即AD．BF=BE．AE．
∵AD=AB=4，AE=x，BF=y，
∴BE=4-x．
∴4y=（4-x）x，
即y=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
∴當x=2時，y的最大值為1．
（3）當x=1時，y=

3

4

，
當x=2時，y=1，
當1＜x＜2時，

3

4

＜y＜1．

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和相似三角形的性質以及二次函數的最值和函數值的取值范圍．本題難度較大，綜合能力較強．