Question

【題目】 如圖，在菱形中，點在對角線上，且，是的外接圓.

（1）求證：是的切線；

（2）若求的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據菱形的性質得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；

（2）連結BD，交AC于點F，根據菱形的性質得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根據勾股定理得到AD==2，求得AE=，設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）連結OP、OA，OP交AD于E，如圖，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP，

∴OP⊥AD，AE=DE，

∴∠1+∠OPA=90°，

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA，

∴∠1+∠OAP=90°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠OAP=90°，

∴OA⊥AB，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）連結BD，交AC于點F，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴DB與AC互相垂直平分，

∵AC=8，tan∠BAC=，

∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，

∴AD==2，

∴AE=，

在Rt△PAE中，tan∠1==，

∴PE=，

設⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，

即⊙O的半徑為．