Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）實踐與操作：利用直尺和圓規按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）；
①作AB的垂直平分線交AB于點D，連接CD；
②分別作∠ADC、∠BDC的平分線，交AC、BC于點E、F．
（2）求證：CE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，CD、DE、DF為所作；

（2）證明：∵D點AB的中點，

∴CD=AD=BD，

∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，

∴DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四邊形CFDE為矩形，

∴CE=DF．

【解析】（1）①利用基本作圖（作線段的垂直平分線）作AB的垂直平分得到AB的中點D，連結CD即可；②利用基本作圖（作已知角的平分線）作DE平分∠ADC，DF平分∠BDC；（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再利用等腰三角形的三線合一得到DE⊥AC，DF⊥BC，于是可判斷四邊形CFDE為矩形，從而得到結論．
【考點精析】利用角平分線的性質定理和線段垂直平分線的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．