Question

【題目】如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點，DE⊥AB于點E且DE交AC于點F，DB交AC于點G，若，則=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】由AB是直徑，推出∠ADG=∠GCB=90°，因為∠AGD=∠CGB，推出cos∠CGB=cos∠AGD，可得，設EF=3k，AE=4k，則AF=DF=FG=5k，DE=8k，想辦法求出DG、AG即可解決問題；

連接AD，BC．

∵AB是半圓的直徑，

∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，

∴∠ADE=∠ABD，

∵D是的中點，

∴∠DAC=∠ABD，

∴∠ADE=∠DAC，

∴FA=FD；

∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，

∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，

∴∠EDB=∠DGF，

∴FA=FG，

∵，設EF=3k，AE=4k，則AF=DF=FG=5k，DE=8k，

在Rt△ADE中，AD=，

∵AB是直徑，

∴∠ADG=∠GCB=90°，

∵∠AGD=∠CGB，

∴cos∠CGB=cos∠AGD，

∴，

在Rt△ADG中，DG=k，

∴，

故答案為：．