Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，作EG⊥DC于G，則下列結論中：①EA=EG；②∠BAD=∠C；③△AEF為等腰三角形；④AF=FD．其中正確結論的個數為

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：根據角平分線性質推出EG=AE，根據三角形內角和定理和角的計算求出∠ABC+∠BAD=90°，∠C+∠ABC=90°，推出∠C=∠BAD，根據三角形外角性質得出∠AFE=∠AEF，推出AE=AF，過F作FM⊥AB于M，根據角平分線性質得出FM=FD，根據斜邊大于直角邊即可推出AF＞FD（FM）．
解答：∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AE=EG，∴①正確；
∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAD，∴②正確；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠C=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠C+∠CBE，
即∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，∴③正確；
過F作FM⊥AB于M，
∵BE平分∠ABC，AD⊥BC，
∴FM=FD，
在Rt△AMF中，∠AMF=90°，斜邊AF大于直角邊FM，
∴AF＞FD，∴④錯誤；、
即正確的個數是3個．
故選C．
點評：本題考查了三角形內角和定理，角平分線性質，三角形外角性質，等腰三角形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．