Question

如圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F．
（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
（2）若EF⊥AC，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
（3）請添加一個EF與AC滿足的條件，使四邊形AECF是矩形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形性質推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根據AAS證△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可；
（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得出答案；
（3）根據對角線相等的平行四邊形是矩形推出即可．

解答：解：（1）四邊形AECF的形狀是平行四邊形，
理由是：∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF過AC的中點O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中

∠EAO=∠OCF ∠AEO=∠CFO OA=OC

，
∴△AEO≌△CFO，
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，

（2）四邊形AECF是菱形，
理由是：由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

（3）添加條件：EF=AC，
理由是：由（1）知四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF=AC，
∴四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了平行線性質，平行四邊形的性質，矩形、菱形的判定等知識點的應用，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵，題型較好，具有一定的代表性，但難度不大．