Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與坐標軸交于兩點，與反比例函數的圖象交于兩點，過點作軸于點，已知.

(1)求的值；

(2)若，求反比例函數的解析式；

(3)在(2)的條件下，設點是軸(除原點外)上一點，將線段繞點按順時針或逆時針旋轉得到線段，當點滑動時，點能否在反比例函數的圖象上？如果能，求出所有的點的坐標；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）k2﹣k1=5；（2）；（3）點Q的坐標為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）.

【解析】

試題分析：（1）根據點M的坐標代入反比例關系中，可得結論；

（2）根據△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐標，代入反比例函數式中可得k2的值；

（3）如圖2，點P在x軸的正半軸上時，繞P順時針旋轉到點Q，根據△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，設P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數的關系式中可得Q的兩個坐標；

如圖3，點P在x軸的負半軸上時；

如圖4，點P在x軸的正半軸上時，繞P逆時針旋轉到點Q，同理可得結論．

試題解析：（1）如圖1，∵MC⊥y軸于點C，且CM=1，

∴M的橫坐標為1，

當x=1時，y=k1+5，∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函數的圖象上，∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如圖1，過N作ND⊥y軸于D，

∴CM∥DN，∴△ACM∽△ADN，∴，

∵CM=1，∴DN=4，

當x=4時，y=4k1+5，∴N（4，4k1+5），∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4；

∴反比例函數的解析式；

（3）當點P滑動時，點Q能在反比例函數的圖象上；

如圖2，CP=PQ，∠CPQ=90°，

過Q作QH⊥x軸于H，易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函數的解析式；

當x=1時，y=4，∴M（1，4），∴OC=PH=4，

設P（x，0），∴Q（x+4，x），

當點Q落在反比例函數的圖象上時，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，

當x=﹣2+時，x+4=2+，如圖2，Q（2+，﹣2+）；

當x=﹣2﹣時，x+4=2﹣，如圖3，Q（2﹣，﹣2﹣）；

如圖4，CP=PQ，∠CPQ=90°，設P（x，0），

過P作GH∥y軸，過C作CG⊥GH，過Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，∴PG=QH=4，CG=PH=x，∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點Q的坐標為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．