Question

某校數學研究小組在研究有關二次函數及其圖象性質時，發現了一個重要結論：拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當實數a變化時，它們的頂點都在某條直線上．
（1）請你協助探求出這條直線的表達式；
（2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可以取a=1或-1，分別求出拋物線的頂點坐標，運用“兩點法”求直線解析式；
（2）運用頂點坐標公式，先表示拋物線的頂點坐標，再根據a的取值范圍進行判斷．

解答：解：（1）當a=1時，y=x²+2x+3的頂點是（-1，2），
當a=-1時，y=-x²+2x+3的頂點是（1，4），
設直線的表達式為y=kx+b，則

2=-k+b 4=k+b

，
解得

k=1 b=3

，
∴所求直線的表達式為y=x+3；

（2）拋物線y=ax²+2x+3的頂點是（-

1

a

，3-

1

a

），
而-

1

a

≠0，3-

1

a

≠3，
∴直線y=x+3一個點（0，3）不是該拋物線的頂點．

點評：本題考查了二次函數 的性質，待定系數法求一次函數解析式．關鍵是根據題意，采用特殊值法求直線解析式，根據頂點坐標的表達式求解．