Question

已知關于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實數根的積為1，且關于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實根，求n的整數值．

Answer 1

分析：先根據關于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實數根的積為1，得出

1

a2

=1，a=±1，再根據關于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x有兩個實數根得出12a+9≥0，求出a=1，然后代入關于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n得出x²+2（1+n）x+（1+2n）=0，求出x₁=-1，x₂=-1-2n，最后根據關于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實根，得出0＜-1-2n＜2，即可求出n的整數值．

解答：解：∵關于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x
∴a²x²+2ax+3x+1=0，
∵關于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實數根的積為1，
∴

1

a2

=1，
∴a=±1，
∵12a+9≥0，
∴a=1
∴關于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n可化簡為：
x²+2（1+n）x+（1+2n）=0
∴x₁=-1，x₂=-1-2n，
∵關于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實根，
∴0＜-1-2n＜2，
∴n的整數值為-1．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系；一元二次方程根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．