Question

（本小題10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD為直徑作⊙

O₁，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖12所示的平面直角坐標系，已知A，

B兩點的坐標分別為A(0，2)，B(-2，0).

（1）求C，D兩點的坐標.

（2）求證：EF為⊙O₁的切線.

（3）探究：如圖13，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到y軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）連結DE，∵CD是⊙O₁的直徑，

∴DE⊥BC，

∴四邊形ADEO為矩形.

∴OE=AD=2，DE=AO=2.

在等腰梯形ABCD中，DC=AB.

∴CE=BO=2，CO=4.

∴C(4，0)，D(2，2).

（2）連結O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，

∠O₁EC=∠O₁CE，

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.

∴O₁E∥AB,

又∵EF⊥AB，

∴O₁E⊥EF.

∵E在AB上，

∴EF為⊙O₁的切線

（3）解法一：存在滿足條件的點P.

如右圖，過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，

設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，

tan∠ABO=.

∴∠ABO=60°，

∴∠PCN =∠ABO =60°.

在Rt△PCN中，

cos∠PCN =，

即,

∴x=.

∴PN=CN·tan∠PCN=(4-)·=.

∴滿足條件的P點的坐標為(，).

解法二：存在滿足條件的點P，

如右圖，在Rt△AOB中，AB=.

過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，

設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，

∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°.

∴△PNC∽△AOB，

∴，即.

解得x=.

又由△PNC∽△AOB，得

，

∴PN= .

∴滿足條件的P點的坐標為(，).

【解析】略