Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，CE是過點C的一條直線，且A、B在CE的異側，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E.

(1)求證:AD＝DE+BE.

(2)若直線CE繞點C旋轉，使A、B在CE的同側時(如圖②)，AD與DE、BE的關系如何?請予以證明.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AD=DE-BE，證明詳見解析.

【解析】

（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，則根據互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到AD＝DE+BE；（2）AD=DE-BE，類比（1）的方法證明△ADC≌△CEB，根據全等三角形的性質可得CD=BE，AD=CE，由此即可證得結論.

（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴AE=CE=CD+DE=DE+BE；

（2）AD=DE-BE.

證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴AD=EC=DE-CD=DE-BE.