Question

新星電子科技公司積極應對2008年世界金融危機，及時調整投資方向，瞄準光伏產業，建成了太陽能光伏電池生產線．由于新產品開發初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產品投產上市一年來，公司經歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次）．公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間第x（月）之間的函數關系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）對應的點都在如圖所示的圖象上．該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點A為該拋物線的頂點，曲線BC為另一拋物線y=-5x²+205x-1230的一部分，且點A，B，C的橫坐標分別為4，10，12．
（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間第x（月）之間的函數關系式；
（2）直接寫出第x個月所獲得S（萬元）與時間x（月）之間的函數關系式（不需要寫出計算過程）；
（3）前12個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多，最多利潤是多少萬元？

Answer 1

解：（1）設直線OA的解析式為y=kx，
∵點O（0，0），A（4，-40）在該直線上，
∴-40=4k，
解得k=-10，
∴y=-10x；
∵點B在拋物線y=-5x²+205x-1230上，
設B（10，m），則m=320．
∴點B的坐標為（10，320）．
∵點A為拋物線的頂點，
∴設曲線AB所在的拋物線的解析式為y=a（x-4）²-40，
∴320=a（10-4）²-40，
解得a=10，
即y=10（x-4）²-40=10x²-80x+120．
∴y=；


（2）利用第x+1個月的利潤應該是前x+1個月的利潤之和減去前x個月的利潤之和：
，
即S=；

（3）由（2）知當x=1，2，3，4時，s的值均為-10，
當x=5，6，7，8，9時，s=20x-70，
即當x=9時s有最大值110，
而在x=10，11，12時，s=-10x+200，
當x=10時，s有最大值100，
因此第9月公司所獲利潤最大，它是110萬元．
分析：（1）根據各段圖象所過的特殊點易求其解析式，注意自變量的取值范圍，綜合起來得結論；
（2）在各段中，s=y_x-y_（x-1）；
（3）根據函數性質分別求出各段中s的最大值比較后得結論．
點評：此題為分段函數問題中較復雜的一題，問題較多，認真審題很重要．理解s的意義及表示方法是本題難點．