Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸于點C，點D為對稱軸l上的一個動點．
（1）求當AD+CD最小時，點D的坐標；
（2）以點A為圓心，以AD為半徑作⊙A
①證明：當AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標______．

Answer 1

（1）因為點A關于l的對稱點是點B，所以連接BC，交l于點D，即為所求點．
由拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，
則對稱軸為：x=1．
當-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1．
∴點A（-1，0），點B（3，0），
拋物線y=-x²+2x+3當x=0時，y=3，
∴點C（0，3）．
設直線BC為：y=kx+b，
代入點B，C得：k=-1，b=3，即y=-x+3，
代入對稱軸x=1，則y=2，
∴點D（1，2）．

（2）①由題意如圖，
∵A，B關于l對稱，
∴AD=BD，BE=2，AB=4，DE=2，
則BD=AD=

DE2+BE2

=2

2

，
∴BD²+AD²=16，
∵AB²=16，
∴BD²+AD²=AB²，
由勾股定理的逆定理知，∠ADB=90°，即AD⊥BD．
故當AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②由①所得點D的另一個坐標（1，-2）．