Question

（2012•成華區一模）已知兩直線l₁、l₂分別經過點A（3，0），點B（-1，0），并且當兩條直線同時相交于y軸負半軸的點C時，恰好有l₁⊥l₂，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點K，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形的面積等于△ABC的面積的

3

2

倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將直線l₁按順時針方向繞點C旋轉α°（0＜α＜90），與拋物線的另一個交點為M．求在旋轉過程中△MCK為等腰三角形時的α的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的長，由此確定點C的坐標；知道A、B、C三點坐標后，利用待定系數法可確定該拋物線的解析式．
（2）此題中，以A、B、C、P為頂點的四邊形可分作兩部分，若該四邊形的面積是△ABC面積的1.5倍，那么四邊形中除△ABC以外部分的面積應是△ABC面積的一半，分三種情況：
①當點P在x軸上方時，△ABP的面積應該是△ABC面積的一半，因此點P的縱坐標應該是點C縱坐標絕對值的一半，代入拋物線解析式中即可確定點P的坐標；
②當點P在B、C段時，顯然△BPC的面積要遠小于△ABC面積的一半，此種情況不予考慮；
③當點P在A、C段時，由A、C的長以及△ACP的面積可求出點P到直線AC的距離，首先在射線CK上取線段CD，使得CD的長等于點P到直線AC的距離，先求出過點D且平行于l₁的直線解析式，這條直線與拋物線的交點即為符合條件的點P．
（3）從題干的旋轉條件來看，直線l₁旋轉的范圍應該是l₁、l₂中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，所以分情況討論：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出點K的坐標、∠BCO的度數結合上述三種情況求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC=

OA•OB

=

3

，則 C（0，-

3

）；
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點C的坐標后，得：
a（0+1）（0-3）=-

3

，a=

3

3

∴拋物線的解析式：y=

3

3

（x+1）（x-3）=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

．

（2）易知OA=3、OB=1、OC=

3

，則：S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×

3

=2

3

．
①當點P在x軸上方時，由題意知：S_△ABP=

1

2

S_△ABC，則：
點P到x軸的距離等于點C到x軸距離的一半，即 點P的縱坐標為

3

2

；
令y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=

3

2

，化簡得：2x²-4x-9=0
解得 x=

2± 22

2

；
∴P₁（

2- 22

2

，

3

2

）、P₂（

2+ 22

2

，

3

2

）；
②當點P在拋物線的B、C段時，顯然△BCP的面積要小于

1

2

S_△ABC，此種情況不合題意；
③當點P在拋物線的A、C段時，S_△ACP=

1

2

AC•h=

1

2

S_△ABC=

3

，則h=1；
在射線CK上取點D，使得CD=h=1，過點D作直線DE∥l₁，交y軸于點E，如右圖；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，則CE=

2 3

3

、OE=OC+CE=

5 3

3

，點E（0，-

5 3

3

）
∴直線DE：y=

3

3

x--

5 3

3

，聯立拋物線的解析式，有：

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 x2- 2 3 3 x- 3

，解得：

x1=1 y1=- 4 3 3

、

x2=2 y2=- 3

∴P₃（1，-

4 3

3

）、P₄（2，-

3

）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（

2- 22

2

，

3

2

）、（

2+ 22

2

，

3

2

）、（1，-

4 3

3

）、（2，-

3

）．

（3）由（1）知：y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

，
∴拋物線的對稱軸 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=

3

，則∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
過點C作直線CN∥x軸，交拋物線于點N，如右圖；
由拋物線的對稱性可得：N（2，-

3

），所以 CN=2；
易知直線BC：y=-

3

x-

3

，則 K（1，-2

3

），CK=

(-1-0)2+(-2 3 + 3 )2

=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等邊三角形----①．
Ⅰ、KC=KM時，點C、M關于拋物線的對稱軸對稱，符合①的情況，即點M、N重合；
Ⅱ、KC=CN時，由于KC=BC，所以此時點M與B、N重合；
Ⅲ、MK=MC時，點M在線段CK的中垂線上，CK的中垂線與拋物線相交于點N或者相交于拋物線的頂點．
綜上，符合條件的直線l₁的旋轉角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30°．

點評：該題考查了利用待定系數法確定函數解析式，圖形面積的解法以及等腰三角形的判定和性質等重點知識；后兩題涉及的情況較多，應分類進行討論，容易漏解．