Question

某賓館有30個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天120元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據規定，每個房間每天的房價不得高于210元．設每個房間的房價增加x元（x為10的正整數倍）．
（1）設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數關系式；
（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

（1）y=30-，且0＜x≤90，且x為10的正整數倍；
（2）w=-x²+20x+3000；
（3）一天訂住21個房間時，賓館每天利潤最大，最大利潤為3990元．

試題分析：（1）理解每個房間的房價每增加x元，則減少房間間，則可以得到y與x之間的關系；
（2）每個房間訂住后每間的利潤是房價減去20元，每間的利潤與所訂的房間數的積就是利潤；
（3）求出二次函數的對稱軸，根據二次函數的增減性以及x的范圍即可求解．
（1）由題意得：
y=30-，且0＜x≤90，且x為10的正整數倍；
（2）w=（120-20+x）（30-），
整理，得w=-x²+20x+3000．
（3）w=-x²+20x+3000
=-（x-100）²+4000．
∵a=，
∴拋物線的開口向下，當x＜100時，w隨x的增大而增大，又0＜x≤90，因而當x=90時，利潤最大，此時一天訂住的房間數是：30-=21間，最大利潤是3990元．
答：一天訂住21個房間時，賓館每天利潤最大，最大利潤為3990元．