Question

【題目】已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．

（1）求證：AC·AD=AB·AE；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，根據圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進而證得△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例即可求得結論；

（2）連接OD，根據切線的性質求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據已知求得∠OBD=30°，進而求得∠BAC=30°，根據30°的直角三角形的性質即可求得AC的長．

試題解析：（1）連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴ACAD=ABAE；

（2）解：連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．