Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足為D．
（1）求證：AC₁•AC₂=AB•AD．
（2）若將直線l向上平移（如圖2），交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂與直徑AB相交（交點不與A、B重合），其他條件不變，請你猜想，AC₁、AC₂、AB、AD之間的關系，并說明理由．
（3）若將直線l平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在圖3上畫出變化后的圖形，標好相應的字母并猜想AC、AB、AD的關系是什么？（只寫出關系，不加以說明）

Answer 1

分析：（1）本題要通過構建相似三角形來求解．連接AC₁、BC₂，通過證△ABC₂∽△AC₁D可得出所求結論．（所證的兩個三角形中，同弧對的圓周角相等以及一組直角）；
（2）結論同（1）也是通過證△ABC₂∽△AC₁D來得出所求結論；
（3）當直線l與圓相切時，C₁、C₂重合，因此結論變為AC²=AB•AD，可通過證三角形ABC和ACD相似，通過弦切角和一組直角來證得兩三角形相似．

解答：（1）證明：連接BC₂．
∵AB為直徑，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（2）解：當l向上平移后，連接BC₂．
∵AB為直徑，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（3）解：AC²=AB•AD．
畫草圖．

點評：本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定和性質．根據相似三角形來求線段成比例是解題的基本思路．