Question

如圖，菱形鐵片ABCD的對角線AC，DB相交于點E，sin∠DAC=

3

5

，AE、DE的長是方程x²-140x+k=0的兩根．
（1）求AD的長；
（2）如果M，N是AC上的兩個動點，分別以M，N為圓心作圓，使⊙M與邊從AB、AD相切，⊙N與邊BC，CD相切，且⊙M與⊙N相外切，設AM=t，⊙M與⊙N面積的和為S，求S關于t的函數關系式；
（3）某工廠要利用這種菱形鐵片（單位：mm）加工一批直徑為48mm，60mm，90mm的圓形零件（菱形鐵片上只能加工同一直徑的零件，不計加工過程中的損耗），問加工哪種零件能最充分地利用這種鐵片并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖可知：AD是Rt△ADE中斜邊長，則求AD根據sin∠DAC=

3

5

，可以求出DE的長，再根據根與系數的關系即可求得DE的長度；
（2）分別過點M作MF⊥AD于F，過點N作NG⊥CD于G，在Rt△AMF中，根據sin∠DAC，可以用t來表示FM，再根據∠DCA=∠DAC，則sin∠DAC=sin∠DA，則可以用NG來表示NC．又知⊙M與⊙N相外切，則MN=MF+NG．根據AC=AM+NC+MN，即可求得NG的值，最后用t來表示S；
（3）如果將這塊科加工成一個最大的圓形零件，設它的半徑為R₁，由圖形的軸對稱性知，圓心必在對角線交點E處，則可以求得R₁的值，則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個，而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個；如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件，并設這時圓半徑為R₂，那么由對稱性知，這兩個圓必是△ADB和△DBC的內切圓，則R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm），所以可以加工直徑為60mm的圓形零件2個；所以加工直徑為48mm的圓形零件，最能充分利用這塊材料．

解答：解：（1）∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=

3

5

即

DE

AD

=

3

5

設DE=3a，則AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE=

(5a)2-(3a)2

=4a
又∵AE，DE是方程x²-140x+k=0的兩根，
∴根據根與系數的關系可得：4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100

（2）過點M作MF⊥AD于F，過點N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中，
sin∠DAC=

3

5

=

MF

AM

∴FM=

3

5

t
∵CD=AD，∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中，
sin∠DCA=

NG

CN

=

3

5

∴NC=

5

3

NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M與⊙N相外切
∴MN=MF+NG=

3

5

t+NG
∴t+

3

5

t+NG+

5

3

NG=160
解得NG=60-

3

5

t
根據題意，
S=π（

3

5

t）²+π（60-

3

5

t）²
即S=

18

25

πt²-72πt+3600π

（3）設它的半徑為R₁，由圖形的軸對稱性知，圓心必在對角線交點E處，則4S_△AED=S_菱形ABCD
∴4AD•R₁=AC•BD
∴R₁=

AC•BD

4AD

=48（mm）
對照條件，則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個，而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個．
如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件，并設這時圓半徑為R₂，那么由對稱性知，這兩個圓必是△ADB和△DBC的內切圓，則2（ AD•R₂+AB•R₂+•BD•R₂）=AC•BD，
∴R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm）．
這時正好可加工直徑為60mm的圓形零件2個．
如若加工三個最大圓形零件，這時用料不合理，顯然不可取．
若加工成4個最大圓形零件，答案前已得出．
如果加工個數更多的話，直徑太小，已不合要求．
所以加工直徑為48mm的圓形零件，最能充分利用這塊材料．

點評：此題主要考查學生對菱形的性質及解直角三角形等知識點的理解及運用．