Question

(1)(3分)如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D．
求證：AB²＝AD·AC；
(2)(4分)如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC
于點F．，求的值；
(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合)，直線BE⊥ＡD
于點E，交直線AC于點F。若，請探究并直接寫出的所有可能的值(用含n的式子表
示)，不必證明．

Answer 1

(1)證明見解析(2)2(3) ①當點D在BC邊上時，的值為n²＋n；②當點D在BC延長線上時，的值為n²－n；③當點D在CB延長線上時，的值為n－n²。

解：(1)證明：如圖①，∵　BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC 。
∴，∴ AB²＝AD·AC。
(2)如圖②，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G。

∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。
又∵，
∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。
又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。
∴ED＝GD＝。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝4DE。∴。
又∵CG∥BF，∴。
(3) ①當點D在BC邊上時，的值為n²＋n；
②當點D在BC延長線上時，的值為n²－n；
③當點D在CB延長線上時，的值為n－n²。
（1）由證△ADB∽△ABC即可得到結論。
（2）過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，由已知用AAS證△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位線，應用（1）的結論即可。
（3）分點D在BC邊上、點D在BC延長線上和點D在CB延長線上三種情況討論：
①當點D在BC邊上時，如圖3，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G。

∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。
∴△BDE∽△CDG。∴。
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。
∴BC=（n＋1）DC，EG=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CG∥BF，∴。
②當點D在BC延長線上時，如圖4，過點C作CH⊥AD交AD于點H。

∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。
∴△BDE∽△CDH。∴ 
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。
∴BC=（n－1）DC，EH=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CH∥BF，∴。
③當點D在CB延長線上時，如圖5，過點C作CI⊥AD交DA的延長線于點I。

∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。
∴△BDE∽△CDI。∴ 
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID。
∴BC=（1－n）DC，EI=ED。
由(1)可得：AB²＝AE·AD，BD²＝DE·AD，
∴。∴ AE＝ DE。
∴。
又∵CI∥BF，∴。