Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）填空：

①當四邊形ABCD滿足條件　 　時（僅需一個條件），四邊形CDEF是矩形；

②當四邊形ABCD滿足條件　 　時（僅需一個條件），四邊形CDEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①AD＝BC；②AD⊥BC．

【解析】

（1）利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得四邊形AECD和四邊形BFDC都是平行四邊形，再由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得CDEF是平行四邊形．（2）①當AD＝BC時，四邊形EFCD是矩形．理由是：對角線相等的平行四邊形是矩形；②當AD⊥BC時，四邊形EFCD是菱形．理由是：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

解：

（1）證明：∵AB∥CD，CE∥AD，DF∥BC，

∴四邊形AECD和四邊形BFDC都是平行四邊形，

∴AE＝CD＝FB，

∵AB＝3CD，

∴EF＝CD，

∴四邊形CDEF是平行四邊形．

（2）解：①當AD＝BC時，四邊形EFCD是矩形．

理由：∵四邊形AECD和四邊形BFDC都是平行四邊形，

∴EC＝AD，DF＝BC，

∴EC＝DF，

∵四邊形EFDC是平行四邊形，

∴四邊形EFDC是矩形．

②當AD⊥BC時，四邊形EFCD是菱形．

理由：∵AD∥CE，DF∥CB，AD⊥BC，

∴DF⊥EC，

∵四邊形EFCD是平行四邊形，

∴四邊形EFCD是菱形．

故答案為AD＝BC，AD⊥BC．