Question

把兩個(gè)直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點(diǎn)O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm．
（1）圖1中線段AO的長(zhǎng)=          cm；DO=         cm

圖1
（2）如圖2,把△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C與AB相交于點(diǎn)F,若△BCE₁恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長(zhǎng)．
 
圖2

Answer 1

（1）AO=cm；DO=cm； （2）.

試題分析：（1）作,利用三角形相似來求出線段AO ,DO的長(zhǎng)； 
（2）連接BE₁ ,過點(diǎn)E₁作E₁G⊥BC于G, 過點(diǎn)F作FH⊥BC于H,根據(jù)三角形相似求出BF,即可得到答案.
試題解析：(1)如圖,過點(diǎn)A作,

∵∠ACB與∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB= ,
∴AC=BC=6,
∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10．
∴ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,
∵
∴△AFC∽△DEC
∴ ,即AF= ,
∴ ,即EF=2,
∴BF=EF+BE=2+1=3,
∵
∴△BOE∽△BAF
∴,即AO= 
,即OE= 
∴DO=DE-OE= 
(2) 連接BE₁ ,過點(diǎn)E₁作E₁G⊥BC于G, 過點(diǎn)F作FH⊥BC于H,

∵△DCE繞著點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度
∴∠E₁CG=α,
∵△BCE₁恰好是以BC為底邊的等腰三角形,
∴E₁G是線段BC的中垂線
∵E₁C=5,BC=6
∴CG=BH=3,,
∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,
∴BH=FH,令BH=FH=x,
則：CH=6-x
在△FHC與△CG E₁中
∵∠E₁CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,
∴∠E₁CG =∠CFH,
∵∠FHC=∠CG E₁=90°,
∴△FHC∽△CG E₁,
∴ ,即： ,解得 ,
∴FH=,
∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,
∴ 
∴ .