Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=1， 是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的動點（點E與點A，D不重合），過E作 所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．
（1）求證：EA=EG；
（2）設AE=x，FC=y，求y關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）如圖2所示，將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，連接AD1 ， D1D，試探索：當點E運動到何處時，△AD1D與△ED1F相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，AD=CD=AB=1，

∴AD⊥BA，

∴AD是圓B的切線，

∵EG是圓B的切線，

∴EA=EG

（2）解：∵EF切圓B于點G，

∴EA=EG，FC=FG．

∵AE=x，FC=y

∴EF=x+y，DE=1﹣x，DF=1﹣y，

在Rt△DEF中，根據勾股定理，得：（x+y）2=（1﹣x）2+（1﹣y）2

∴y= （0＜x＜1）

（3）解：當點E運動到AD的中點時，△AD1D與△ED1F相似；理由如下：

設直線EF交線段DD1于點H，由題意，得：

△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．

∵AE= ，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，

∴∠FD1D=∠AD1D．

∴D1F∥AD，

∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°，

∴△ED1F∽△AD1D．

【解析】（1）證出AD是圓B的切線，由切線長定理即可得出結論；（2）根據切線長定理、正方形的性質得到有關的線段用x，y表示，再根據勾股定理建立函數關系式．（3）根據切線長定理找到角之間的關系，從而發現正方形，根據正方形的性質得到兩個角對應相等，從而證明三角形相似．