Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0）．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為y=﹣x2+2x+3；（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形，P點的坐標為（， ）；（3）P點的坐標為（， ），四邊形ABPC面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據菱形的對角線互相平分，可得P點的縱坐標，根據函數值與自變量的對應關系，可得答案；

（3）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標．

試題解析：（1）將B、C兩點的坐標代入得 ，解得 ，

所以二次函數的表達式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，存在點P，使四邊形POP′C為菱形．

設P點坐標為（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO，

連接PP則PE⊥CO于E，

∴OE=CE=，

∴y=，

∴-x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（， ）；

（3）如圖1，

，

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直線BC的解析式為y=﹣x+3．

則Q點的坐標為（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+，

當x=時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標為（， ），四邊形ABPC面積的最大值為．