Question

如圖，等腰三角形與正三角形的形狀有著差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為等腰三角形的“正度”，在研究“正度”時，應符合下面四個條件：①“正度”的值是非負數；②“正度”值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；③相似的等腰三角形“正度”要相等；④正三角形的“正度”是0．例如：
設等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β．
可用|sinα-

3

2

|表示等腰三角形的“正度”，|sinα-

3

2

|的值越小，α越接近60°，表示等腰三角形越接近正三角形，且當兩個等腰三角形相似時，它們的底角相等，顯然，它們的“正度”|sinα-

3

2

|也相等，當α=60°時，|sinα-

3

2

|=0．
而如果用

a

b

表示等腰三角形的“正度”，就不符合要求，因為此時正三角形的正度是1！
解答下列問題：
甲同學認為：可用|a-b|表示等腰三角形的“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
乙同學認為：可用|α-β|表示等腰三角形的“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
（1）他們的說法合理嗎？為什么？
（2）對你認為不合理的方案加以改進，使其合理；
（3）請你再給出一種衡量等腰三角形“正度”的合理的表達式，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將甲乙兩同學的推測進行推理，若代入特殊值不成立，則推理不成立．
（2）對同學甲的方案可改為用

|a-b|

ka

，

|a-b|

kb

等（k為正數）來表示“正度”．
（3）還可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，

1

3

[(α-60°)2+2(β-60°)2]等來表示“正度”．

解答：解：（1）同學乙的方案較為合理．
因為|α-β|的值越小，α與β越接近60°，
因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等．
同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等．
如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4．
（2）對同學甲的方案可改為用

|a-b|

ka

，

|a-b|

kb

等（k為正數）來表示“正度”．
（3）還可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，

1

3

[(α-60°)2+2(β-60°)2]等來表示“正度”．

點評：本題考查了相似三角形的應用、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，此題是一道開放性問題，體現了探索發現的過程：發現問題，作出假設，進行驗證，加以證明．