Question

閱讀材料：在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半．
如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為
（3，0）和（0，）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，，2（單位長度/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（單位長度/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）考查了待定系數法求一次函數；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
解答：解：（1）設直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．則
，
解得，，
故直線AB的解析式為：y=-x+3；（4分）

（2）∵A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，），
∴AO=3，OB=3，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=4-3=1（秒），
∴P（0，）；
根據題意知，點P與點E在OB上重合，則
=+，即=3+，
解得，OE=，
∴t=÷=，即t=；（4分）（各2分）

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），∴OP=PG，
又∵OE=FG=t，∠A=60°，∴AG=FGtan60°=t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t，
由3-t=t，得
t=；（1分）
當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
當點P在線段BA上時，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四邊形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=t，∴BE=3-t，∴EF=BEtan60°=3-
∴MP=EH=EF=，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，解得t=．（1分）
點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式，還考查了菱形的性質與判定以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵要注意數形結合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．