Question

如圖，在△ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF=40°，則圖中陰影部分的面積是

4-

8

9

π

（結果保留π）

Answer 1

分析：由于BC切⊙A于D，連接AD可知AD⊥BC，從而可求出△ABC的面積；根據圓周角定理，易求得∠EAF=2∠EPF=80°，圓的半徑為2，可求出扇形AEF的面積；圖中陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形AEF的面積．

解答：解：連接AD，

∵BC是切線，點D是切點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S_扇形AEF=

80π•22

360

=

8

9

π，
S_△ABC=

1

2

AD•BC=

1

2

×2×4=4，
∴S_陰影部分=S_△ABC-S_扇形AEF=4-

8

9

π．
故答案為：4-

8

9

π．

點評：本題考查了扇形面積的計算，同時用到了圓周角定理和切線的概念及性質等知識，解決本題的關鍵是利用圓周角與圓心角的關系求出扇形的圓心角的度數，難度一般．