Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=2，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

（1）求證：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）設(shè)AE=x，四邊形DEFG的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、4；證明過程見解析；(3)、S==x2﹣4x+8

【解析】

試題分析：(1)、作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，則有DE=EF即可；(2)、同（1）的方法判斷出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；(3)、由正方形的性質(zhì)得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2．

試題解析：(1)、如圖，作EM⊥BC，EN⊥CD

∴∠MEN=90°， ∵點E是正方形ABCD對角線上的點， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF，

在△DEM和△FEM中，， ∴△DEM≌△FEM， ∴EF=DE， ∵四邊形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

(2)、CE+CG的值是定值，定值為4， ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC，

∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， ∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CE． ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=×2=4，

(3)、如圖，

∵正方形ABCD中，AB=2， ∴AC=4， 過點E作EM⊥AD，∴∠DAE=45°， ∵AE=x，

∴AM=EM=x， 在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2﹣x，EM=x，

根據(jù)勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣4x+8，

∵四邊形DEFG為正方形， ∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．