Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點P和圖形M，給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，如果兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點P與圖形M間的開距離，記作．已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，的半徑為1．

（1）若，

①求的值；

②若點C在直線上，求的最小值；

（2）以點A為中心，將線段順時針旋轉得到，點E在線段組成的圖形上，若對于任意點E，總有，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①3；②；（2）或

【解析】

（1）①直接利用圓外一點到圓上的一點的最大距離，即可得出結論；
②先判斷出OC⊥AB時，OC最短，即可得出結論；
（2）Ⅰ、當b＞0時，當直線AB與⊙O相切時，d（E，⊙O）最小，當點E恰好在點D時，d（E，⊙O）最大，即可得出結論；
Ⅱ、當b＜0時，同Ⅰ的方法即可得結論．

解：（1）①根據題意可知．

．

②如圖，過點O作于點C，此時取得最小值．

直線與x軸交于點A，

．

．

．

．

的最小值為．

（2）或

Ⅰ、當b＞0時，如圖2，

針對于直線y=x+b（b≠0），
令x=0，則y=b，
∴B（0，b），
∴OB=b，
令y=0，則0=x+b，
∴x=b，
∴A（b，0），
∴OA=b，
則AB=2b，tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
由旋轉知，AD=AB=2b，∠BAD=120°，

則有∠OAD=90°，
連接OD，
∴OD==b，
∵⊙O的半徑為1，
∴當線段AB與⊙O相切時，d（E，⊙O）最小=2，
同（1）的方法得，OF==1，
∴b=（舍去負值），
對于任意點E，總有2≤d（E，⊙O）＜6，
∴b＜6-1，
∴b＜，
即≤b＜；
Ⅱ、當b＜0時，如圖3，

同Ⅰ的方法得，-＜b≤-，
綜上述，-＜b≤-或≤b＜．