Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①②2cm

【解析】試題分析：（1）利用定理:四條邊都相等的四邊形是菱形，證明四邊形BFEP為菱形；

(2)①在直角三角形APE中，根據勾股定理求出EP=

②分兩種情況討論：第一：點Q和點C重合；第二：點P和點A重合

試題解析：（1）∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ

∴點B與點E關于PQ對稱

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF

又∵EF∥AB

∴∠BPF=∠EFP

∴∠EPF=∠EFP

∴EP=EF

∴BP=BF=FE=EP

∴四邊形BFEP為菱形.

（2）①如圖2

∵四邊形ABCD是矩形

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°

∵點B與點E關于PQ對稱

∴CE="BC=5cm"

在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32

∴DE=4cm

∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm

在RtΔAPE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE

∴EP2=12+（3-EP）2，解得：EP=cm.

∴菱形BFEP的邊長為cm.

②當點Q與點C重合時，如圖2，點E離A點最近，由①知，此時AE=1cm.

當點P與點A重合時，如圖3.點E離A點最遠，此時，四邊形ABQE是正方形.

AE=AB=3cm

∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm.