Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內取一點C，作CD垂直X軸于點D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）

解：∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′點的坐標為（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

∴m的值為7或9；

（3）

解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=2，

∴可設P（2，t），

由（2）可知E點坐標為（1，8），

①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

設Q（x，y），則QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②當BE為對角線時，

∵B（5，0），E（1，8），

∴線段BE的中點坐標為（3，4），則線段PQ的中點坐標為（3，4），

設Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

綜上可知Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

【解析】（1）由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）由題意可求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，代入拋物線解析式可求得C′點的坐標，則可求得平移的單位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E點坐標，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點坐標；當BE為對角線時，由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設Q（x，y），由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．