Question

（2012•日照）如圖，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（-3，0），經過B點的直線交拋物線于點D（-2，-3）．
（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；
（2）過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、D兩點的坐標代入二次函數解析式可得二次函數解析式中b，c的值，讓二次函數的y等于0求得拋物線與x軸的交點B，把B、D兩點代入一次函數解析式可得直線BD的解析式；
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進而根據y=-3求得合適的a的值即可．

解答：解：（1）將A（-3，0），D（-2，-3）的坐標代入y=x²+bx+c得，

9-3b+c=0 4-2b+c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3    
由x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐標是（1，0），
設直線BD的解析式為y=kx+b，則

k+b=0 -2k+b=-3

，
解得：

k=1 b=-1

，
∴直線BD的解析式為y=x-1；  

（2）∵直線BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD，
∴直線EF的解析式為：y=x-a，
若四邊形BDFE是平行四邊形，
則DF∥x軸，
∴D、F兩點的縱坐標相等，即點F的縱坐標為-3．
由

y=x2+2x-3 y=x-a

，得
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=

-(2a+1)± 13-4a

2

．
令

-(2a+1)± 13-4a

2

=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
當a=1時，E點的坐標（1，0），這與B點重合，舍去；
∴當a=3時，E點的坐標（3，0），符合題意．
∴存在實數a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形．

點評：綜合考查二次函數的知識；用到的知識點為：平面直角坐標系中，兩直線平行，一次項系數的值相等；兩個點所在的直線平行，這兩個點的縱坐標相等．