Question

【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的平分線AE交CD于點F,交BC的延長線于點E.

（1）求證:BE=CD;
（2）連接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求ABCD的面積.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠E.
又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴∠BAE=∠E.
∴BA=BE=CD.
（2）解:∵∠BEA=60°,BA=BE,
∴△ABE為等邊三角形.
∵BF⊥AE,
∴F為AE的中點.
∴AF=EF
在△AFD和△EFC中,

∴△AFD≌△EFC(ASA).
∴△AFD的面積等于△EFC的面積.
∴ABCD的面積等于△ABE的面積.
在△ABE中,AB=AE=4,
∴AF=2.由勾股定理得BF=2 ,
∴△ABE的面積= ×4×2 =4 .
∴ABCD的面積為4
【解析】（1）根據平行四邊形的性質證明AD∥BC，BA=CD，再根據鍵盤俠的定義及平行線的性質證明∠BAE=∠E，根據等角對等邊得出AB=BE，從而可證得結論。
（2）根據已知條件∠BEA=60°,BA=BE，可證得△ABE為等邊三角形，再根據等邊三角形三線合一的性質證明AF=EF，就可證明△AFD≌△EFC，根據全等三角形的面積相等，要求ABCD的面積就轉化為求△ABE得面積，然后在△ABE中，利用勾股定理求出BF的長，利用三角形的面積公式就可求出答案。