Question

已知m，n是兩個連續自然數（m＜n），且q=mn．設p=

q+n

+

q-m

，證明：p總是奇數．

Answer 1

分析：首先根據題意推出n=m+1，即可求出q關于m的表達式，然后把q=m²+m，n=m+1，代入到p的表達式，推出p=

(m+1)2

+

(m)2

，通過m為自然數，即可求出m≥0和m+1＞0，最后根據根式的性質對根式進一步化簡，即可推出p=2m+1，由此可知p總是奇數．

解答：證明：∵m，n是兩個連續自然數，且m＜n，
∴n=m+1，q=mn=m（m+1）=m²+m，
∴p=

q+n

+

q-m

=

m2+m+m+1

+

m2+m-m

=

(m+1)2

+

m2

，
∵m是自然數，
∴m≥0，m+1＞0，
∴p=

(m+1)2

+

m2

=m+1+m=2m+1，
∴p總是奇數．

點評：本題主要考查二次根式的性質，二次根式的化簡，奇數的性質等知識點，關鍵在于通過題意推出n和q關于m的表達式，通過等量代換推出p=

(m+1)2

+

m2

，根據m和m+1的取值范圍正確的對二次根式進行化簡．