Question

如圖l，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點D，頂點的坐標為（2，4）．直角三角形ABC的頂點A與點O重合，AC，AB分別在x軸，y軸上，且AC=3，AB=4．
（1）直線BC的解析式為

y=

4

3

x+4

；
（2）求該拋物線的函數關系式；
（3）將直角三角形ABC以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤2），AB邊與該拋物線的交點為Q（如圖2所示）．
①設△CPQ的面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
②直接寫出直線BC與拋物線有唯一的公共點時t的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出B，C點坐標，再求直線BC的解析式；
（2）根據頂點式直接求出拋物線解析式即可；
（3）①根據題意得出P，Q點坐標，進而得出PQ的長，即可得出△CPQ的面積，再利用配方法得出最值；
②根據當直線BC與拋物線有唯一的公共點時，設此時直線解析式為：y=

4

3

x+d，得出

4

3

x+d=-x²+4x整理后方程為：x²-

8

3

x+d=0此時方程有兩個相等的實數根，
進而得出d的值，即可得出圖象與x軸交點坐標，即可得出移動距離．

解答：解：（1）∵直角三角形ABC的頂點A與點O重合，AC，AB分別在x軸，y軸上，且AC=3，AB=4，
∴C，B坐標分別為：C（-3，0），B（0，4），
設BC直線解析式為：y=ax+b則：

b=4 -3a+b=0

，
解得：

a= 4 3 b=4

，
∴y=

4

3

x+4；
故答案為：y=

4

3

x+4；

（2）∵拋物線的頂點坐標為（2，4），
∴設拋物線解析式為：y=a（x-2）²+4，
∵拋物線過原點，
∴0=4a+4，
解得：a=-1，
∴該拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4，即y=-x²+4x；

（3）①由題意得出點P的坐標為：（t，t），點Q的坐標為：（t，-t²+4t），
∴PQ=-t²+4t-t=-t²+3t，
∴△CPQ的面積為
S=

1

2

PQ•AC
=

1

2

×3×（-t²+3t）
=-

3

2

（t²-3t）
=-

3

2

（t-

3

2

）²+

27

8

∴S存在最大值，最大值是

27

8

．

②當直線BC與拋物線有唯一的公共點時，
設此時直線解析式為：y=

4

3

x+d，
∴

4

3

x+d=-x²+4x整理后方程為：x²-

8

3

x+d=0此時方程有兩個相等的實數根，
∴b²-4ac=

64

9

-4×1×d=0，
解得：d=

16

9

，
∴此時BC所在直線解析式為：y=

4

3

x+

16

9

，
∴y=0時，x=-

4

3

，
∴C點從（-3，0）到（-

4

3

，0）移動了

5

3

個單位長度，
∴直線BC與拋物線有唯一的公共點時t的值為：

5

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及配方法求最值以及根的判別式和待定系數法求一次函數解析式等知識，利用數形結合得出對應點位置是解題關鍵．