Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動點，連接CP．

（1）直接寫出OC=___________；

（2）如圖1，當CP與⊙A相切時，求PO的長；

（3）如圖2，當點P在直徑OB上時，CP的延長線與⊙A相交于點Q，問當PO為何值時，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4 （3）PO為2或2+2

【解析】

（1）根據已知條件證明△AOC是等邊三角形，由此即可求解；（2）根據切線的性質可得∠ACP=90°，在直角三角形APC中，即可得∠APC= 30°；有已知A點的坐標可得AC的長，即可求得PA的長，再由PO=PA-OA得出OP的值即可；（3）分OC=OQ和CQ=OQ兩種情況求PO得值即可.

（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴OC=OA=4

（2）∵CP與⊙A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4．

（3）①如圖，過點C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半徑，

∴，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等邊三角形，

∴P1O=OA=2；

②如圖，過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2，

∵A是圓心，

∴DQ2是OC的垂直平分線，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

過點Q2作Q2E⊥x軸于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴點Q2的坐標（4+，﹣2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴，

∴C點坐標（2，）；

設直線CQ2的關系式為y=kx+b，則

，

解得，

∴y=﹣x+2+2；

當y=0時，x=2+2，

∴P2O=2+2，

即：PO為2或2+2時，△OCQ是等腰三角形．