Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，若，可求得、、之間的數量關系為______．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）

（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，若，判斷、、之間的數量關系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．（可借鑒第（1）問的解題經驗）

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）不成立，證明見解析．

【解析】

（1）延長CB至M，使BM=DF，證明△ABM≌△ADF，再證明△EAH≌△EAF，可得出結論；
（2）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF，即可得出EF=BE-FD．

（1）EF=BE+DF；
如圖，延長CB至M，使BM=DF，

∵∠ABC =∠D =90°，
∴∠1=∠D，
在△ABM與△ADF中，

，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF=AM，∠2=∠3，

∵，

∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF，

∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME與△AFE中，

，

∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（2）不成立，應該是EF=BE-FD．
證明：如圖2，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，

，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD，

∴∠GAE=∠EAF．

∵在△AEG與△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG=EF，
∵EG=BE-BG，
∴EF=BE-FD．