Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點和A（﹣1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線解析式；
（2）點P是拋物線BC段上一點，PD⊥BC，PE∥y軸，分別交BC于點D、E．當DE= 時，求點P的坐標；
（3）M是平面內一點，將符合（2）條件下的△PDE繞點M沿逆時針方向旋轉90°后，點P，D，E的對應點分別是P′、D′、E′．設P′E′的中點為N，當拋物線同時經過D′與N時，求出D′的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，2）代入解得a=

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2．

（2）解：如圖1所示：延長PE交x軸與點F．

∵OC=2，OB=4，

∴BC= =2 ．

∵PD⊥BC，CO⊥OB，

∴∠COB=∠PDE=90°．

∵∠PDE=∠EFB，∠PED=∠FEB，

∴∠DPE=∠CBO．

∴△PDE∽△BOC．

∴ = ，即 = ，解得PE=2．

設BC的解析式為y=kx+2，將點B的坐標代入得：4k+2=0，解得：k=﹣ ．

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2．

設點P的坐標為（x，﹣ x2+ x+2），則E（x，﹣ x+2）．

∴﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=2，解得x1=x2=2．

∴點P的坐標為（2，3）．

（3）解：旋轉后的圖形如圖2所示：過點D′作D′H⊥P′E′，垂足為H．

∵∠P'D'E'=90°，N是斜邊P'E'的中點，

∴D′B= P′E′=1．

∵ P′D′E′D′= P′E′HD′，

∴D′H= = = ．

∴HP′= ．

∴HN=P′H﹣P′N= ．

設D′（x，﹣ x2+ x+2），則N（x﹣ ，﹣ x2+ x+2+ ），

把N點坐標代入拋物線得﹣ x2+ x+2+ =﹣ （x﹣ ）2+ （x﹣ ）+2，解得：x= ．

∴點D′的橫坐標為 ．

【解析】（1）由題意可設此二次函數的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），把C點的坐標代入可求得；
（2）易求出BC的長，再證△PDE∽△BOC，利用對應邊成比例可求得PE的長，利用待定系數法求出直線BC的解析式，從而設出P、E的坐標，進而求出答案；
（3）根據題意畫出圖形，再過點D′作D′H⊥P′E′，利用直角三角形的性質可得BD′，由三角形的面積公式可求得HD′，進而求得HN的值，設D′，可得N點的坐標，把N點的坐標代入拋物線可求得x的值，即可得答案.
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．