Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣2，0），點P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．

（1）求拋物線解析式；
（2）若點P在第一象限內，當OD=4PE時，求四邊形POBE的面積；
（3）在（2）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在上，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，∴ ，解得： ，拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：令y= x2﹣ x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，當x=0時，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），設BC的解析式為y=kx+b，則 ，解得： ，∴y= x﹣2，

設D（m，0），

∵DP∥y軸，

∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），

∵OD=4PE，

∴m=4（ m2﹣ m﹣2﹣ m+2），

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5， ），E（5， ），

∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD= ×5× ﹣ 1× = ；

（3）

解：存在，設M（n， n﹣2），

①以BD為對角線，如圖1，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+ ，

∴M（ ， ），

∵M，N關于x軸對稱，

∴N（ ，﹣ ）；

②以BD為邊，如圖2，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+DH2=DM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合題意），n2=5.6，

∴N（4.6， ），

同理（ n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+ （不合題意，舍去），n2=4﹣ ，

∴N（5﹣ ， ），

③以BD為邊，如圖3，

過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+BH2=BM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

∴n1=4+ ，n2=4﹣ （不合題意，舍去），

∴N（5+ ， ），

綜上所述，當N（ ，﹣ ）或（4.6， ）或（5﹣ ， ）或（5+ ， ），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形．

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，于是列方程即可得到結論；（2）根據函數解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式為y= x﹣2，設D（m，0），得到E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），根據已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根據三角形的面積公式即可得到結論；（3）設M（n， n﹣2），①以BD為對角線，根據菱形的性質得到MN垂直平分BD，求得n=4+ ，于是得到N（ ，﹣ ）；②以BD為邊，根據菱形的性質得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過M作MH⊥x軸于H，根據勾股定理列方程即可得到結論．