Question

（2012•高郵市一模）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，過點A作直線MN⊥AC，點P是直線MN上的一個動點（與點A不重合），連接CP交AB于點D，設AP=x，AD=y．

（1）如圖1，若點P在射線AM上，求y與x的函數解析式；
（2）射線AM上是否存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似，若存在，求AP的長，若不存在，說明理由；
（3）如圖2，過點B作BE⊥MN，垂足為E，以C為圓心、AC為半徑的⊙C與以P為圓心PD為半徑的動⊙P相切，求⊙P的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據相似三角形的判定定理得出△APD∽△BCD，故

AP

BC

=

AD

BD

，再在Rt△ABC中，根據勾股定理得出AB的長，AP=x，AD=y，即可得出BD=AB-AD=10-y，故可得出結論；
（2）假設射線AM上存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似，由AM∥BC，可知∠B=∠BAE，再由∠ACB=90°，∠APD≠90°，可得出△ABC∽△PAD，故

AB

BC

=

PA

AD

，進而可得出結論；
（3））由⊙C與⊙P相切，可得AP=x，可分四種情況進行討論：
①點P在射線MA上，當⊙C與⊙P外切時，PE=x+8，PC=x+8-6=x+2，在直角三角形PAC中，由AC²+AP²=PC²，可得x²+6²=（x+2）²，故可得出x的值；
②當⊙C與⊙P內切時，PE=x-8，PC=x-8-6=x-14，在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，即x²+6²=（x-14）²，故可得出x的值．

解答：解：（1）∵AM⊥AC，
∴∠CAM=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAM+∠ACB=180°，
∴AM∥BC，
∴∠BCP=∠APC，∠CBA=∠BAP，
∴△APD∽△BCD，
∴

AP

BC

=

AD

BD

，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
根據勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=10，
又∵AP=x，AD=y，
∴BD=AB-AD=10-y，
∴

x

8

=

y

10-y

，
則y=

10x

x+8

（x＞0）；

（2）假設射線AM上存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似，
∵AM∥BC，
∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠APD≠90°，
∴△ABC∽△PAD，
∴

AB

BC

=

PA

AD

，
∴

10

8

=

x

10x x+8

，
解得：x=4.5，
∴當AP的長為4.5時，△ABC∽△PAD；

（3）∵⊙C與⊙P相切，AP=x，
①點P在線AE上，當⊙C與⊙P外切時，PE=x+8，PC=x+8-6=x+2，
在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，
∴x²+6²=（x+2）²，
解得：x=8，
∴⊙P的半徑為16；
②當⊙C與⊙P內切時，PE=x-8，PC=x-8-6=x-14，
在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，
∴x²+6²=（x-14）²，
解得：x=

16

7

；
③點P在射線EM上時，⊙C與⊙P不可能相切．
∴當⊙C與⊙P相切時，⊙P的半徑為16或

16

7

．

點評：本題考查的是相似三角形的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質及勾股定理，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．