Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，經過圓上點D的直線CD恰∠ADC=∠B。

（1）求證：直線CD是⊙O的的切線；

（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E，且AB=，BD=2，求線段AE的長。

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B。

又∵∠ADC=∠B，∴∠ODB=∠ADC。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=900。

∴∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=900。

又 ∵OD是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的的切線。

BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。

（2）在Rt△ABD中，∵AB=，BD=2，∴根據勾股定理得AD=1。

∵AE⊥AB，∴∠EAB=900。∴∠EAB=∠ADB =900。

又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△EBA。∴，即。∴。

【解析】（1）連接OD，只要證明∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=900即可。

（2）根據勾股定理求得AD=1，則由△ABD∽△EBA可列比例式求解。