Question

已知直線ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整數）．當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，設△A₁OB₁（O是平面直角坐標系的原點）的面積為s₁；當n=2時，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點A₂和B₂，設△A₂OB₂的面積為s₂，…，依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點A_n和B_n，設△A_nOB_n的面積為S_n．
（1）求△A₁OB₁的面積s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）求出直線與x，y軸的交點坐標，即可得到△A₁OB₁的兩直角邊的長，即可求得面積；
（2）求出s₂，s₃，根據s₁，s₂，s₃可以得到規律進一步求得s_n，即可用n表示出求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈，然后化簡求值即可．

解答：解：（1）當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸的交點是A₁（

1

2

，0）和B₁（0，1）（1分）
所以OA₁=

1

2

，OB₁=1，
∴s₁=

1

4

（3分）
（2）當n=2時，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸的交點是A₂（

1

3

，0）和B₂（0，

1

2

）
所以OA₂=

1

3

，OB₂=

1

2

，
∴s₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

2

×(

1

2

-

1

3

)（4分）
當n=3時，直線l3：y3=-

4

3

x+

1

3

與x軸和y軸的交點是A₃（

1

4

，0）和B₃（0，

1

3

）
所以OA₃=

1

4

，OB₃=

1

3

，
∴s₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

2

(

1

3

-

1

4

)（5分）
依此類推，s_n=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)（6分）
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

2008

-

1

2009

)（7分）
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈
=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

2009

)
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．（8分）

點評：本題考查了一次函數與三角形的面積的綜合應用，正確根據s₁，s₂，s₃的值猜想規律，得到s_n是解題的關鍵．