Question

已知：如圖，在直角坐標系中，⊙O₁經過坐標原點，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B．
（1）若點O到直線AB的距離為

12

5

，且tan∠B=

3

4

，求線段AB的長；
（2）若點O到直線AB的距離為

12

5

，過點A的切線與y軸交于點C，過點O的切線交AC于點D，過點B的切線交OD于點E，求

1

CD

+

1

BE

的值；
（3）如圖，若⊙O₁經過點M（2，2），設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發生變化，若不變，求出其值；若變化，求其變化的范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點O到直線AB的距離為

12

5

，且tan∠B=

3

4

，從O點作AB的垂線，利用三角函數關系求出OA、OB和OB的關系，利用△AOB的面積公式可求出AB的長度；
（2）延長BE交x軸于點F，過點O作OG⊥AB于點G，∵DO=DA，∴∠DOA=∠DAO，∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可證：EB=EO=EF，根據平行線段成比例的原理，可以求出結果．

解答：解：（1）作OG⊥AB，垂足為點G，
∵tan∠B=

3

4

，設OA=3k，OB=4k，
∴AB=5k，（1分）
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB，即3k×4k=5k×

12

5

，∴k=1，（3分）
∴AB=5；（4分）


（2）延長BE交x軸于點F，過點O作OG⊥AB于點G，
∵DO=DA，
∴∠DOA=∠DAO，
∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可證：EB=EO=EF，（5分）
又∵AC∥OG∥BF，
∴

OG

2CD

=

OG

AC

=

BG

BA

，∴

OG

2BE

=

OG

BF

=

AG

AB

，

OG

2CD

+

OG

2BE

=

BG+AG

AB

=1，
即

1

CD

+

1

BE

=

2

OG

，（8分）
而OG=

OA×OB

AB

=

12

5

，∴

1

CD

+

1

BE

=

5

6

；（9分）

（3）d+AB的值不會發生變化．
設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，則d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB，
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=∠MON=45°，AM=BM；
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，（12分）
∴∠BOM=∠N=45°，
∴∠OMN=90°，
∴OA+OB=ON=

OM2+MN2

=

2

OM=4，
∴d+AB的值不會發生變化，其值為4．（14分）

點評：解題的關鍵要熟練掌握坐標的有關知識，利用圖形結合來解決．