Question

如圖，線段AB經過圓心O，交⊙O于點A，C，點D在⊙O上，連接AD，BD，∠A=∠B=30°，圓的半徑R．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出OB、BD、求出△BDO的面積和扇形DOC的面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：
連接OD，
∵OA=OD，∠A=∠B=30°，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°，
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=90°，
∵OD是半徑，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠B=30°，∠ODB=90°，OD=R，
∴OB=2R，
由勾股定理得：BD=

3

R，
∴圖中陰影部分的面積是：S_△BDO-S_扇形DOC=

1

2

×R×

3

R-

60π×R2

360

=

3 3 -π

6

R²，
答：圖中陰影部分的面積是

3 3 -π

6

R²．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，三角形的面積，扇形的面積的應用，解（1）小題關鍵是求出∠ODB=90°，解（2）小題關鍵是求出△BDO和扇形DOC的面積，題目比較好．