Question

（2012•龍巖質檢）在平面直角坐標系中，ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為（0，3）、（-1，0），
將ABOC繞點0順時針旋轉90°，得到A′B′OC′，若拋物線過點C、A、A′．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若p拋物線的對稱軸上一點，使得PA′+PB′的值最小，求出點P的坐標及PA′+PB′的最小值；
（3）若點M是拋物線上的一點，問是否存在以點A、A′、C′、M為頂點的梯形？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由旋轉不變性可知點A'（3，0），OA'=OA=3，然后設出二次函數的交點式后用待定系數法求解即可；
（2）首先確定二次函數的對稱軸，根據對稱性可知點A'與點C關于對稱軸對稱，從而得到要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小，即當點P在線段B'C上時．PA'+PB'的值最小，然后求得點P的坐標即可；
（3）分當AM∥C'A'時，得到AM≠C'A'，此時四邊形ACA'M是梯形和當C'M∥AA'時，得到C'M≠AA'，此時四邊形AC'MA'或AMC'A'是梯形兩種情況分類討論即可確定點M的坐標．

解答：解：（1）由旋轉不變性可知點A'（3，0），OA'=OA=3
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點A（0，3）代入，則3=a（0+1）×（0-3），
解得a=-1，
故y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知，拋物線對稱軸為x=-

2

2×(-1)

=1
由對稱性可知點A'與點C關于對稱軸對稱∴要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小
即當點P在線段B'C上時．PA'+PB'的值最小                   
由已知有：A'B'=AB=CO=1
則點B'（3，-1）
設直線B'C的解析式為y=kx+b，將點B'、C的坐標代入，可得k=-

1

4

，b=-

1

4

，
∴直線B'C的解析式為y=-

1

4

x-

1

4

當x=1時，y=-

1

2

，
∴P(1，-

1

2

)，此時PA'+PB'有最小值

17

；

（3）存在                                                      
①當AM∥C'A'時，由圖易知，AM≠C'A'，此時四邊形ACA'M是梯形
設M（m，-m²+2m+3），顯然，m＞0，過M作MF⊥AO，
則FM=m，AF=3-（-m²+2m+3）=m²-2m
易知△AFM∽△C'OA'，
∴

AF

C′O

=

FM

OA′

，即

m2-2m

1

=

m

3

，
解得m₁=0，m2=

7

3

，
∵M（0，3）與點A重合，舍去．
∴M(

7

3

，

20

9

)．
②當C'M∥AA'時，易知C'M≠AA'，此時四邊形AC'MA'
或AMC'A'是梯形，易得直線C'M：y=-x+1，
設M（n，-n+1），則-n+1=-n²+2n+3，解得n=

3± 17

2

，
∴M2(

3+ 17

2

，

-1- 17

2

)，M3(

3- 17

2

，

-1+ 17

2

)
綜上所述，滿足題意的M點有三點：M1(

7

3

，

20

9

)，M2(

3+ 17

2

，

-1- 17

2

)，M3(

3- 17

2

，

-1+ 17

2

)．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的最值問題等知識點，二次函數的最值問題及存在性問題，綜合性強，有一定的難度．