Question

課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B與∠D互補，求證：AB+AD=

3

AC．小敏反復探索，不得其解．她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題．
（1）特殊情況入手添加條件：“∠B=∠D”，如圖2，可證AB+AD=

3

AC；（請你完成此證明）
（2）解決原來問題受到（1）的啟發，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F．（請你補全證明）

Answer 1

分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根據∠B與∠D互補，那么∠B=∠D=90°，又因為∠DAC=∠BAC=30°，因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=

3

2

AC，那么AD+AB=

3

AC．
（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的條件．根據AAS可證兩三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法進行計算即可．

解答：證明：（1）∵∠B與∠D互補，∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∠CAD=∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，
∵在△ADC中，cos30°=

AD

AC

，
在△ABC中，cos30°=

AB

AC

，
∴AB=

3

2

AC，AD=

3

2

AC．
∴AB+AD=

3

AC．

（2）由（1）知，AE+AF=

3

AC，
∵AC為角平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE=CF．
而∠ABC與∠D互補，
∠ABC與∠CBE也互補，
∴∠D=∠CBE．
∵在Rt△CDF與Rt△CBE中，

∠CEB=∠CFD ∠D=∠CBE CE=CF

∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=

3

AC．

點評：本題考查了直角三角形全等的判定及性質；通過輔助線來構建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關鍵．