Question

【題目】(1)如圖①,在△ABC中,∠BAC=90，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D.E證明：DE=BD+CE.

(2)如圖②,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D. A.E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，請問結論DE=BD+CE是否成立，若成立，請你給證明：若不存在，請說明理由。

(3)應用：如圖③，在△ABC中，∠BAC是鈍角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，D. A.E三點都在直線m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，只出現m與BC的延長線交于點F，若BD=5，DE=7，EF=2CE，求△ABD與△ABF的面積之比。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）2：9

【解析】

（1）證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質證明即可；

（2）根據三角形內角和定理證明∠CAE=∠ABD，證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質證明即可；

（3）根據（2）的結論求出AE、AD、EF，根據三角形的面積公式計算即可.

（1）證明：∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵CE⊥直線m

∴∠ACE+∠CAE=90°

∴∠BAD=∠ACE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（2）結論DE=BD+CE成立

證明：∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠BAD，

∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+ AD =BD+CE

（3）由（2）得，△ABD≌△CAE

∴AE=BD=5，

∴AD=DE﹣AE=2

∴EF=2CE=4

∴△ABD與△ABF的面積之比=AD：AF=2：9