Question

如圖，已知∠MON兩邊分別為OM、ON，sin∠O=且OA=5，點D為線段OA上的動點（不與O重合），以A為圓心、AD為半徑作⊙A，設OD=x．

（1）若⊙A交∠O 的邊OM于B、C兩點，BC=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

（2）將⊙A沿直線OM翻折后得到⊙A′．

①若⊙A′與直線OA相切，求x的值；

②若⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，求x的值．

 

Answer 1

（1）y=2（0＜x＜5）；（2）①x=；②．

【解析】

試題分析：（1）作AH⊥OM于H，如圖1，在Rt△OAH中，根據正弦的定義求出AH=3，根據垂徑定理由AH⊥BC得CH=BH=BC=y，由于OD=x，則AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（y）2=（5-x）2-32，再整理即可得到y與x的函數關系；

（2）①作A′E⊥OA于E，根據折疊的性質得A′H=AH=3，⊙A′的半徑為5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理計算出OH=4；由于⊙A′與直線OA相切，根據切線的性質得A′E=5-x，再證明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值；

②作A′G⊥OA于G，連結A′D，根據兩圓相切的性質得A′D=x+5-x=5，再證明Rt△OAH∽Rt△A′AG，利用相似比可計算出AG=，A′G=，則DG=AG-AD=x-，然后在Rt△A′GD中，根據勾股定理得到（）2+（x-）2=52，整理得x2-x=0，然后解方程即可．

試題解析：（1）作AH⊥OM于H，如圖1，

在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=，

∴AH=3，

∵AH⊥BC，

∴CH=BH=BC=y，

∵OD=x，

∴AD=5-x，

在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=y，

∴（y）2=（5-x）2-32，

∴y=2（0＜x＜5）；

（2）①作A′E⊥OA于E，如圖，

∵⊙A沿直線OM翻折后得到⊙A′，

∴A′H=AH=3，⊙A′的半徑為5-x，

在Rt△OAH中，OH==4，

∵⊙A′與直線OA相切，

∴A′E=5-x，

∵∠HAO=∠EAA′，

∴Rt△OAH∽Rt△A′AE，

∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x），

∴x=；

②作A′G⊥OA于G，連結A′D，如圖3，

∵⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，

∴A′D=x+5-x=5，

∵∠HAO=∠GAA′，

∴Rt△OAH∽Rt△A′AG，

∴，即，

∴AG=，A′G=，

∴DG=AG-AD=-（5-x）=x-，

在Rt△A′GD中，∵A′G2+GD2=A′D2，

∴（）2+（x-）2=52，

整理得x2-x=0，解得x1=0（舍去），x2=，

∴x的值為．

考點：圓的綜合題．